حل تمرین صفحه 27 ریاضی و آمار دهم

پاسخ تشریحی و گام به گام تمرین حل معادله‌های درجه دوم به روش مربع کامل صفحه 27 ریاضی دهم انسانی سلام دانش‌آموزان گرامی! روش **تشکیل مربع کامل** (Completing the Square) یکی از روش‌های قدرتمند برای حل معادلات درجه دوم است. در این روش، هدف ما این است که معادله را به شکل $\mathbf{(x \pm k)^2 = M}$ دربیاوریم و سپس با ریشه‌گیری، جواب‌ها را پیدا کنیم. **گام‌های اصلی تشکیل مربع کامل (زمانی که $\mathbf{a=1}$):** 1. جمله‌ی ثابت ($\mathbf{c}$) را به سمت راست معادله منتقل کنید. 2. مربع نصف ضریب $\mathbf{x}$ (یعنی $\mathbf{(\frac{b}{2})^2}$) را به **دو طرف** معادله اضافه کنید. 3. سمت چپ را به صورت $\mathbf{(x + \frac{b}{2})^2}$ بنویسید. 4. با ریشه‌گیری (جذر گرفتن)، معادله را حل کنید. --- ### الف) $\mathbf{x^2 - 5x + 6 = 0}$ 1. **انتقال جمله‌ی ثابت:** $$\mathbf{x^2 - 5x = -6}$$ 2. **محاسبه و اضافه کردن مربع نصف $\mathbf{b}$:** $\mathbf{b = -5}$. $$\mathbf{(\frac{b}{2})^2 = (\frac{-5}{2})^2 = \frac{25}{4}}$$ $$\mathbf{x^2 - 5x + \frac{25}{4} = -6 + \frac{25}{4}}$$ 3. **تبدیل به مربع کامل و ساده‌سازی سمت راست:** $$\mathbf{(x - \frac{5}{2})^2 = \frac{-24 + 25}{4} = \frac{1}{4}}$$ 4. **ریشه‌گیری و حل معادله:** $$\mathbf{x - \frac{5}{2} = \pm \sqrt{\frac{1}{4}} = \pm \frac{1}{2}}$$ * **ریشه‌ی اول:** $\mathbf{x = \frac{5}{2} + \frac{1}{2} = \frac{6}{2} = 3}$ * **ریشه‌ی دوم:** $\mathbf{x = \frac{5}{2} - \frac{1}{2} = \frac{4}{2} = 2}$ $$\mathbf{\text{جواب‌ها: } x = 3 \text{ یا } x = 2}$$ --- ### ب) $\mathbf{9x^2 + 2x - 2 = 0}$ 1. **تقسیم بر $\mathbf{a}$:** ابتدا باید ضریب $\mathbf{x^2}$ (که $\mathbf{9}$ است) را به $\mathbf{1}$ تبدیل کنیم. $$\mathbf{x^2 + \frac{2}{9}x - \frac{2}{9} = 0}$$ 2. **انتقال جمله‌ی ثابت:** $$\mathbf{x^2 + \frac{2}{9}x = \frac{2}{9}}$$ 3. **محاسبه و اضافه کردن مربع نصف $\mathbf{b}$:** $\mathbf{b = \frac{2}{9}}$. $$\mathbf{(\frac{b}{2})^2 = (\frac{2/9}{2})^2 = (\frac{1}{9})^2 = \frac{1}{81}}$$ $$\mathbf{x^2 + \frac{2}{9}x + \frac{1}{81} = \frac{2}{9} + \frac{1}{81}}$$ 4. **تبدیل به مربع کامل و ساده‌سازی سمت راست (مخرج مشترک $\mathbf{81}$):** $$\mathbf{(x + \frac{1}{9})^2 = \frac{18}{81} + \frac{1}{81} = \frac{19}{81}}$$ 5. **ریشه‌گیری و حل معادله:** $$\mathbf{x + \frac{1}{9} = \pm \sqrt{\frac{19}{81}} = \pm \frac{\sqrt{19}}{9}}$$ $$\mathbf{x = -\frac{1}{9} \pm \frac{\sqrt{19}}{9} = \frac{-1 \pm \sqrt{19}}{9}}$$ $$\mathbf{\text{جواب‌ها: } x = \frac{-1 + \sqrt{19}}{9} \text{ یا } x = \frac{-1 - \sqrt{19}}{9}}$$ --- ### پ) $\mathbf{x^2 + \frac{1}{4} = -x}$ 1. **استاندارد کردن معادله:** ابتدا تمام جملات را به یک طرف می‌آوریم: $$\mathbf{x^2 + x + \frac{1}{4} = 0}$$ 2. **تشخیص اتحاد (مربع کامل از پیش ساخته شده):** این معادله از قبل به صورت مربع کامل است! $$\mathbf{x^2 + 2(\frac{1}{2})x + (\frac{1}{2})^2 = 0}$$ $$\mathbf{(x + \frac{1}{2})^2 = 0}$$ 3. **ریشه‌گیری و حل معادله:** $$\mathbf{x + \frac{1}{2} = 0}$$ $$\mathbf{x = -\frac{1}{2} \text{ (ریشه مضاعف)}}$$ $$\mathbf{\text{جواب: } x = -\frac{1}{2} \text{ (ریشه مضاعف)}}$$ --- ### ت) $\mathbf{x^2 + 6x + 9 = 0}$ 1. **تشخیص اتحاد (مربع کامل از پیش ساخته شده):** این معادله نیز یک **اتحاد مربع مجموع دو جمله‌ای** است: $$\mathbf{x^2 + 2(3)x + 3^2 = 0}$$ $$\mathbf{(x + 3)^2 = 0}$$ 2. **ریشه‌گیری و حل معادله:** $$\mathbf{x + 3 = 0}$$ $$\mathbf{x = -3 \text{ (ریشه مضاعف)}}$$ $$\mathbf{\text{جواب: } x = -3 \text{ (ریشه مضاعف)}}$$